407,3 Kb.страница2/5Дата конвертации25.09.2011Размер407,3 Kb.Тип Смотрите также: 2 Лемма 3.1 (см. [7], з.1.53, 1.57а)) Если - ортотреугольник остроугольного треугольника АВС, то центр вписанной в ортотреугольник окружности совпадает с ортоцентром ^ Н исходного треугольника. Кроме того, стороны ортотреугольника антипараллельны соответственным сторонам исходного треугольника, т.е. и т.д. Лемма 3.2 Радикальная ось (см. [7], з.3.54, 3.58) Если прямая, проходящая через точку Р, пресекает окружность в двух точках Q и R, то произведение не зависит от выбора прямой, содержащей ^ Р.9 Это выражение, взятое со знаком «плюс» в случае внешней точки Р, и со знаком «минус» в противном случае ЂЂЂ называется степенью точки относительно окружности. Оказывается, для двух неконцентрических окружностей все точки, степени которых относительно окружностей равны, «заметают» некоторую прямую, перпендикулярную линии центров. Она называется радикальной осью двух окружностей. Лемма 3.3 Ортоцентрическая ось (см. [7], з.3.72а)) Точки пересечения продолжения сторон ортотреугольника с соответствующими прямыми, содержащими стороны исходного треугольника, лежат на одной прямой ЂЂЂ т.н. ортоцентрической оси. Ортоцентрическая ось перпендикулярна прямой Эйлера10. Действительно, пусть, например, . Тогда треугольник подобен треугольнику ( т.к., в силу леммы 3.1, ).11 Из подобия следует, что, т.е. (см. лемму 3.2) степени точки относительно описанной окружности и окружности Эйлера равны, а значит, лежит на радикальной оси этих окружностей, линия центров которых совпадает с прямой Эйлера. Точно такие же рассуждения показывают, что и точки лежат на радикальной оси. Лемма 3.4 (см.[7], з.5.2) Треугольник , образованный центрами вневписанных окружностей ЂЂЂ остроугольный, а исходный треугольник АВС ЂЂЂ его ортотреугольник. Лемма 3.5 Прямая OI является прямой Эйлера треугольника , а также прямой Эйлера и треугольника Жергонна исходного треугольника АВС. В самом деле, во-первых, треугольник Жергонна гомотетичен треугольнику . Ведь в силу лемм 3.1 и 3.5, . Понятно также, что и . А раз треугольники гомотетичны, то их прямые Эйлера либо параллельны, либо совпадают. Но центр вписанной окружности I является (лемма 3.1, лемма 3.4) ортоцентром треугольника , и, очевидно, центром описанной около треугольника окружности ЂЂЂ т.е. эта точка принадлежит и той и другой прямой Эйлера, поэтому они совпадают. Наконец, очевидно, что центр описанной около АВС окружности О есть (по лемме 3.4) центр окружности Эйлера треугольника , т.е. - прямая Эйлера треугольника .12 Осталось только заметить, что прямая , содержащая основания внешних биссектрис, и есть Ортоцентрическая ось треугольника . И, в силу леммы 3.3 и 3.5, теорема 3.1 полностью доказана. ЂЂЂ Замечание: В частности, на основании только что доказанной теоремы, можно сконструировать следующую, хотя и просто формулируемую, но весьма заковыристую13 олимпиадную задачу: ^ Имеется линейка, на которой отмечен отрезок, равный одной из сторон данного треугольника. Такой линейкой построить прямую, перпендикулярную прямой OI этого треугольника. Определение 3.1ЂЂЂ Назовем минус-«а» тройкой тройку следующих прямых: , , . ^ Теорема 3.1ЂЂЂ Минус-«a»тройка является тройкой параллельных прямых. Более того, эти прямые перпендикулярны прямой O, проходящей через центры описанной и соответствующей вписанной окружностей.
В 1998 году знаменитый математик Джон Конвей порадовал любителей элементарной геометрии
В 1998 году знаменитый математик Джон Конвей порадовал любителей элементарной геометрии - страница 2
Комментариев нет:
Отправить комментарий